Question

已知函数f（x）=|x²+2x-1|，若a＜b＜-1，且f（a）=f（b），则ab+a+b的取值范围是________．

Answer 1

（-1，1）
分析：f（x）是一个对称轴为 x=-1 抛物线，然后把 x轴下方的图形关于x轴翻折上去，设这个图形与x轴交点分别为x₁，x₂，那么必然有-3＜a＜x₁＜b＜-1，可求出b-a的范围，而ab+a+b=ab+1-=1-，即可求出所求．
解答：f（x）=|x²+2x-1|=|（x+1）²-2|，
这是一个对称轴为 x=-1 抛物线，然后把 x轴下方的图形关于x轴翻折上去，
设这个图形与x轴交点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂）
那么在x₁＜x＜x₂，f（x）有最大值，在x=-1时取得，f（-1）=2
解方程 f（x）=|x²+2x-1|=2，可以算出x=-3或者1
那么必然有-3＜a＜x₁＜b＜-1，
若a＜b＜-1，且f（a）=f（b），此时a²+2a-1＞0，b²+2b-1＜0
那么有a²+2a-1=-（b²+2b-1）
解得：a+b=1-
ab+a+b=ab+1-=1-
判断a-b的取值范围，显然 0＜b-a＜（-1）-（-3）=2
那么 0＜（b-a）²＜4
-1＜1-（b-a）²/2＜1
即：-1＜ab+a+b＜1
故答案为：（-1，1）．
点评：本题主要考查了二次函数的性质，同时考查了分析问题的能力，计算能力，讨论的数学思想，属于中档题．