练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知
    a
    =（cosα，sinα），
    b
    =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
    （1）求证：
    a
    +
    b
     与
    a
    -
    b
    互相垂直；
    （2）若k
    a
    +
    b
    与
    a
    -k
    b
    的长度相等，求β-α的值（k为非零的常数）．
    分析：（1）根据已知中向量
    a
    ，
    b
    的坐标，分别求出向量
    a
    +
    b
    与
    a
    -
    b
    的坐标，进而根据向量数量积公式及同角三角函数的平方关系，可证得
    a
    +
    b
     与
    a
    -
    b
    互相垂直；
    （2）方法一：分别求出k
    a
    +
    b
    与
    a
    -k
    b
    的坐标，代入向量模的公式，求出k
    a
    +
    b
    与
    a
    -k
    b
    的模，进而可得cos（β-α）=0，结合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．
    方法二：由|k
    a
    +
    b
    |=|
    a
    -k
    b
    |得：|k
    a
    +
    b
    |2=|
    a
    -k
    b
    |2，即（k
    a
    +
    b
    ）2=（
    a
    -k
    b
    ）2，展开后根据两角差的余弦公式，可得cos（β-α）=0，结合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．
    解答：证明：（1）由题意得：
    a
    +
    b
    =（cosα+cosβ，sinα+sinβ）
    a
    -
    b
    =（cosα-cosβ，sinα-sinβ）
    ∴（
    a
    +
    b
    ）•（
    a
    -
    b
    ）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）
    =cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0
    ∴
    a
    +
    b
     与
    a
    -
    b
    互相垂直．
    解：（2）方法一：k
    a
    +
    b
    =（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ），
    a
    -k
    b
    =（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）
    |k
    a
    +
    b
    |=
    		k2+2kcos(β-α)+1
    ，|
    a
    -k
    b
    |=
    		k2-2kcos(β-α)+1

    由题意，得4cos（β-α）=0，
    因为0＜α＜β＜π，
    所以β-α=
    π
    2
    ．
    方法二：由|k
    a
    +
    b
    |=|
    a
    -k
    b
    |得：|k
    a
    +
    b
    |2=|
    a
    -k
    b
    |2
    即（k
    a
    +
    b
    ）2=（
    a
    -k
    b
    ）2，k2|
    a
    |2+2k
    a
    •
    b
    +|
    b
    |2=|
    a
    |2-2k
    a
    •
    b
    +k2|
    b
    |2
    由于|
    a
    |=1，|
    b
    |=1
    ∴k2+2k
    a
    •
    b
    +1=1-2k
    a
    •
    b
    +k2，故
    a
    •
    b
    =0，
    即（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）=0（10分）
    即cosαcosβ+sinαsinβ=4cos （β-α）=0
    因为0＜α＜β＜π，
    所以β-α=
    π
    2
    ．
    点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量数量积的坐标表示，模，夹角，熟练掌握平面向量数量积的坐标公式，是解答的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的向量a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=（m+p，n-q），已知a=（cosθ，3），b=(sinθ，3+
    		2
    sinθ)    （θ∈R），点N（x，y）满足
    ON
    =a⊙b（其中O为坐标原点），则|
    ON
    |2    的最大值为（　　）
    A、
    		2
    B、2+
    		2
    C、2-
    		2
    D、2

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =（cosα，sinα），
    b
    =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
    （1）求证：
    a
    +
    b
    与
    a
    -
    b
    互相垂直；
    （2）若k
    a
    +
    b
    与k
    a
    -
    b
    大小相等，求β-α（k≠0）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =（cosα，sinα），
    b
    =（cosβ，sinβ），则（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =（cosα，sinα），
    b
    =（cosβ，sinβ）．
    （1）若α-β=
    7π
    6
    ，求
    a
    •
    b
    的值；
    （2）若
    a
    •
    b
    =
    4
    5
    ，α=
    π
    8
    ，且α-β∈(-
    π
    2
    ，0)    ，求tan（α+β）的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2005•朝阳区一模）已知
    a
    =（cosα，sinα），
    b
    =（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
    （Ⅰ）求|
    a
    |的值；
    （Ⅱ）求证：
    a
    +
    b
    与
    a
    -
    b
    互相垂直；
    （Ⅲ）设|
    a
    +
    b
    |=|
    a
    -
    b
    |，求β-α的值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案