Question

（本小题满分13分）
已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜
率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵焦距为4，∴c=2………………………………………………1分
又∵的离心率为……………………………… 2分
∴，∴a=，b=2………………………… 4分
∴标准方程为………………………………………6分
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得……………………7分
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，∴＜0………………………………8分
∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…………………… 9分
∴＜0…………… 11分
∴k＜……………………………………………………………… 12分
经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，
∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）……………………………13

略