Question

4．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}\right.$（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用消元，将参数方程和极坐标方程化为普通方程；
（2）利用弦长公式求|AB|的长度，利用点到直线的距离公式求AB上的高，然后求三角形面积．

解答 解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$
得ρ²sin²θ=2ρcosθ．
∴由曲线C的直角坐标方程是：y²=2x．
由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}\right.$（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x-y-4=0，
所以直线l的普通方程为：x-y-4=0…（5分）
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y²=2x，得t²-8t+7=0，
设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
所以|AB|=$\sqrt{2}|{t}_{1}-{t}_{2}|$=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{{8}^{2}-4×7}=6\sqrt{2}$，
因为原点到直线x-y-4=0的距离d=$\frac{|-4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，
所以△AOB的面积是$\frac{1}{2}×$|AB|d=$\frac{1}{2}×6\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=12．…（10分）

点评 本题考查了将参数方程和极坐标方程化为普通方程以及点到直线的距离公式的运用．