Question

学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有3人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设X为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且X＞0的概率P(X＞0)=

3

5

．
（1）求文娱队的人数；
（2）从文娱队中选出3人排练一个由1人唱歌2人跳舞的节目，有多少种挑选演员的方法？

Answer 1

分析：（1）设文娱队共有n人，易得5≤n≤8，n∈N^*，进而可得其中只会唱歌，只会跳舞，既会唱歌又会跳舞的人数，根据题意P(X＞0)=

3

5

，易得n＜8，分别讨论n=7、5≤n≤6两种情况，可得n的值；
（2）由（1）的结论，文娱队中只会唱歌的有1人，记为a，只会跳舞的有3人，记为b、c、d，既会唱歌又会跳舞的有2人，记为e、f；分①若表演唱歌的一人是a，②表演唱歌的一人从e、f中选，两种求解讨论，分别计算该情况下的选法数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答：解：（1）设文娱队共有n人（5≤n≤8，n∈N^*），则其中只会唱歌的有（n-5）人，只会跳舞的有（n-3）人，既会唱歌又会跳舞的有（8-n）人．
∵P(X＞0)=

3

5

≠0，∴n＜8．
若n=7，则P(X＞0)=P(X=1)=

C 1 1 C 1 6

C 2 7

=

6

21

=

2

7

≠

3

5

，
∴5≤n≤6．
此时，P(X＞0)=P(X=1)+P(X=2)=

C 1 8-n C 1 2n-8

C 2 n

+

C 2 8-n

C 2 n

=

3

5

，
即  

2(8-n)(2n-8)+(8-n)(7-n)

n(n-1)

=

3

5

，整理可得3n²-28n+60=0
解方程，得n=6，或n=

10

3

（舍）
所以，文娱队共6人．
（2）由题意知，文娱队中只会唱歌的有1人，记为a，只会跳舞的有3人，记为b、c、d，既会唱歌又会跳舞的有2人，记为e、f；．
若表演唱歌的一人是a，则表演跳舞的2人从b、c、d、e、f中选，有C₅²种选法，
若表演唱歌的一人从e、f中选，则表演跳舞的2人从剩余会跳舞的4人中选，有C₂¹C₄²种选法，
故不同的选法共有C₁¹C₅²+C₂¹C₄²=22种．

点评：本题考查等可能事件的概率计算，排列、组合的应用；解题的难点在于（1）中对P(X＞0)=

3

5

的理解及运用．