Question

7．已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与直线y=-x+5垂直，求实数a的值．
（2）?x₀∈[1，e]，使得$\frac{f（{x}_{0}）+1+a}{{x}_{0}}$≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得到所求a的值；
（2）由题意可得?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）+1+a≤0成立，运用参数分离和构造函数运用导数，判断单调性即可得到最小值，进而得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-alnx的导数为f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$，
即有曲线f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为2-a，
由切线与直线y=-x+5垂直，可得2-a=1，
解得a=1；
（2）?x₀∈[1，e]，使得$\frac{f（{x}_{0}）+1+a}{{x}_{0}}$≤0成立，
即有?x₀∈[1，e]，使得f（x₀）+1+a≤0成立，
由lnx₀∈[0，1]，则1-lnx₀∈[0，1]，
即有?x₀∈[1，e]，-a≥$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{1-ln{x}_{0}}$的最小值，
由y=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{1-ln{x}_{0}}$的导数为y′=$\frac{{x}_{0}（3-2ln{x}_{0}）+\frac{1}{{x}_{0}}}{（1-ln{x}_{0}）^{2}}$，
由于3-2lnx₀∈[1，3]，则导数大于0，
即有函数y在[1，e]递增，
则函数的最小值为2，
即有-a≥2，解得a≤-2．
则实数a的取值范围是（-∞，-2]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数的单调性的运用，注意存在性问题的解法，属于中档题．