Question

（本小题满分12分）如图，为空间四点．在中，．等边三角形以为轴运动．
（1）当平面平面时，求；
（2）当转动时，证明总有？

Answer 1

（1）． （2）证明：见解析。

本题考查用线面垂直的方法来证明线线垂直，考查答题者的空间想象能力．
（Ⅰ）取出AB中点E，连接DE，CE，由等边三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，在Rt△DEC中用勾股定理求出CD．
（Ⅱ）总有AB⊥CD，当D∈面ABC内时，显然有AB⊥CD，当D在而ABC外时，可证得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．
解：（1）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以．
当平面平面时，因为平面平面，
所以平面，可知                       …………4分
由已知可得，
在中，．                 …………6分
（2）证明：
（ⅰ）当在平面内时，因为，
所以都在线段的垂直平分线上，即．
（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．
又因，所以．
又为相交直线，所以平面，
由平面，得．
综上所述，总有．                …………12分