Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，AC⊥CB，∠ABC=45°，侧面A₁ABB₁是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E、F分别是AB₁、BC的中点．
（1）求证EF∥平面A₁ACC₁；
（2）求EF与侧面A₁ABB₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：E是A₁B中点．连A₁C，所以EF∥A₁C．再根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）作FG⊥AB交AB于G，连EG，可得FG⊥平面A₁ABB₁，即可得到∠FEG是EF与平面A₁ABB₁所成的角，再在△EFG中利用解三角形的有关知识解决问题即可．

解答：解：（1）证明：∵A₁ABB₁是菱形，E是AB₁中点，
∴E是A₁B中点．
连A₁C，
∵F是BC中点，
∴EF∥A₁C．
∵A₁C?平面A₁ACC₁，EF?平面A₁ACC₁，
∴EF∥平面A₁ACC₁…（4分）
（2）作FG⊥AB交AB于G，连EG，
∵侧面A₁ABB₁⊥平面ABC且交线是AB，
∴FG⊥平面A₁ABB₁，
∴∠FEG是EF与平面A₁ABB₁所成的角
由AB=a，AC⊥BC，∠ABC=45°，得FG=

2

2

FB=

a

4

=BG
由AA₁=AB=a，∠A₁AB=60°，得EG=

3

4

a
∴tan∠FEG=

3

3

，
∴∠FEG=30°
所以EF与侧面A₁ABB₁所成的角为30°．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便熟悉几何体中的线面关系，再利用有关的定理与定义求出线面角．