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已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且4sin2
B+C
2
-cos2A=
7
2

(1)求角A的大小,
(2)若a=
3
,cosB=
3
5
,求△ABC的面积.
分析:(1)利用三角恒等变换公式和诱导公式,化简已知等式得到(2cosA-1)2=0,解之得cosA=
1
2
,结合A是三角形的内角可得A=60°;
(2)算出sinA=
1-cos2A
=
4
5
,结合正弦定理算出b=
asinB
sinA
=
8
5
.利用诱导公式与两角和的正弦公式算出sinC=sin(A+B)=
3
3
+4
10
,最后利用正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面积.
解答:解:(1)∵sin2
B+C
2
=
1
2
[1-cos(B+C)]=
1
2
(1+cosA),cos2A=2cosA-1
∴由4sin2
B+C
2
-cos2A=
7
2
,得(2cosA-1)2=0,解之得cosA=
1
2

∵A是三角形的内角,∴A=60°;
(2)由cosB=
3
5
,得sinA=
1-cos2A
=
4
5

a
sinA
=
b
sinB
,∴b=
asinB
sinA
=
8
5

又∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
3
3
+4
10

∴△ABC的面积为S=
1
2
absinC=
1
2
×
3
×
8
5
×
3
3
+4
10
=
8
3
+18
25
点评:本题着重考查了正弦定理的面积公式、三角函数的诱导公式和三角恒等变换公式、正弦定理解三角形等知识,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC的三个顶点的A、B、C及平面内一点P满足
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,下列结论中正确的是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P,若
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,则点P与△ABC的位置关系是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC的三个顶点ABC及平面内一点P满足:
PA
+
PB
+
PC
=
0
,若实数λ满足:
AB
+
AC
=λ
AP
,则λ的值为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3)、B(3,1)、C(-1,0),求BC边上的高所在的直线方程.
(2)过椭圆
x2
16
+
y2
4
=1
内一点M(2,1)引一条弦,使得弦被M点平分,求此弦所在的直线方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足:
PA
+
PB
+
PC
=
0
,若实数λ 满足:
AB
+
AC
AP
,则λ的值为(  )
A、3
B、
2
3
C、2
D、8

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