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已知
1
m
+
2
n
=1(m>0,n>0)
,当mn取得最小值时,直线y=-
2
x+2
与曲线
x|x|
m
+
y|y|
n
=1
交点个数为
2
2
分析:由均值不等式1=
1
m
+
2
n
≥2
1
m
• 
1
n
,当且仅当
1
m
=
2
n
时等号成立,所以m=2,n=4.故
x|x|
2
+
y|y|
4
=1
.①当x>0,y>0,表示
x2
2
y2
4
=1
的椭圆;②当x>0,y<0,表示
x2
2
y2
4
=1
以x轴为实轴的双曲线;③当x<0,y>0,表示
y2
4
-
x2
2
=1
以y轴为实轴的双曲线;④当x<0,y<0,表示-
x2
2
-
y2
4
=1
,因为左边恒≤0所以不可能=右边,所以此时无解.作出图象能得到结果.
解答:解:由均值不等式
1=
1
m
+
2
n
≥2
1
m
• 
1
n

当且仅当
1
m
=
2
n
时等号成立,
也就是
1
m
=
2
n
=
1
2

所以m=2,n=4.
x|x|
m
+
y|y|
n
=1

x|x|
2
+
y|y|
4
=1

①当x>0,y>0,
表示
x2
2
y2
4
=1
的椭圆;
②当x>0,y<0,
表示
x2
2
y2
4
=1
以x轴为实轴的双曲线;
③当x<0,y>0,
表示
y2
4
-
x2
2
=1
以y轴为实轴的双曲线;
④当x<0,y<0,
表示-
x2
2
-
y2
4
=1

因为左边恒≤0所以不可能=右边,
所以此时无解.
所以如图得到图象,
结合图象知直线y=-
2
x+2
与曲线
x|x|
m
+
y|y|
n
=1
交点个数是2个.
故答案为:2.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,解题时要注意均值定理和分类讨论思想、数形结合思想的合理运用.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,常因分类不清易出错,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知
1
m
+
2
n
=1(m>0,n>0)
,则当m•n取得最小值时,椭圆
x2
m2
+
y2
n2
=1
的离心率为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线mx+ny=2,(m>0,n>0)平分圆x2+y2-2x-4y+4=0的周长,则
1
m
+
2
n
取最小值时,双曲线
x2
m2
-
y2
n2
=1
的离心率为
2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知
1
m
+
2
n
=1(m>0,n>0),当mn取得最小值时,直线y=-
2
x
+2与曲线
x|x|
m
+
y|y|
n
=1的交点的个数为(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知
1
m
+
2
n
=1(m>0,n>0)
,则当m•n取得最小值时,椭圆
x2
m2
+
y2
n2
=1
的离心率为______.

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