Question

已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f(x)=

x

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）运用函数单调性定义证明f（x）在定义域R上是增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据函数单调性定义证明f（x）在定义域R上是增函数．

解答：解：（Ⅰ）设x∈（-∞，0），
则-x∈（0，+∞），
∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=

x

∴f（-x）=

-x

，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=

-x

=-f（x），
∴f（x）=-

-x

，x∈（-∞，0），
∴f（x）=

x ，x≥0 - -x ，x＜0

．
（Ⅱ）∵f（x）是R上的奇函数，
∴只需要证明函数f（x）在[0，+∞）上单调递增即可，
设x₂＞x₁≥0，
则f(x2)-f(x1)=

x2

-

x1

=

x2-x1

x2 + x1

，
∵x₂＞x₁≥0，
∴x₂-x₁＞0，

x2

+

x1

＞0，
即f(x2)-f(x1)=

x2

-

x1

=

x2-x1

x2 + x1

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），即函数在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在定义域R上是增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的定义证明函数单调性的方法，要求熟练掌握相关的定义．