Question

已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是F₁（1，0），求它的另一个焦点F₂的轨迹方程．

Answer 1

分析：由双曲线的定义列出有关另一个焦点的方程，进行分类讨论，由式子的几何意义和椭圆的定义进行求解，并把不符合题意的点去掉，即可得到另一个焦点F₂的轨迹方程．

解答：解：∵双曲线过点A（-2，4）和B（4，4），它的一个焦点是F₁（1，0），
∴|AF₁|=|BF₁|=5，
由双曲线的定义知，||AF₁|-|AF₂||=||BF₁|-|BF₂||，即|5-|AF₂||=|5-|BF₂||，
（1）当5-|AF₂|=5-|BF₂|时，即|AF₂|=|BF₂|，
∴焦点F₂的轨迹是线段AB的中垂线，其方程为x=1（y≠0或8），
（2）当5-|AF₂|=|BF₂|-5时，即|AF₂|+|BF₂|=10＞6，
∴焦点F₂的轨迹是以A、B为焦点，长轴为10的椭圆，
∴其中心是（1，4），a=5，c=3，∴b²=25-9=16，
∴其方程为

(x-1)2

25

+

(y-4)2

16

=1（y≠0）
综上，另一个焦点F₂的轨迹方程为：x=1（y≠0或8）或

(x-1)2

25

+

(y-4)2

16

=1（y≠0）．

点评：本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，由双曲线和椭圆的定义求动点的轨迹方程是关键．