Question

（2010•成都一模）已知在4支不同编号的枪中有3支已经试射校正过，1支未经试射校正．某射手若使用其中校正过的枪，每射击一次击中目标的概率为

4

5

；若使用其中未校正的枪，每射击一次击中目标的概率为

1

5

，假定每次射击是否击中目标相互之间没有影响．
（I）若该射手用这3支已经试射校正过的枪各射击一次，求目标被击中的次数为奇数的概率；
（II）若该射手用这4支抢各射击一次，设目标被击中的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求出目标被击中的次数为1与3的概率，最后根据互斥事件的概率进行求解即可；
（II）ξ可能的取值为0，1，2，3，4，然后利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：解：（I）记“该射手用这3支已经试射校正过的枪各射击一次，目标被击中的次数为i”为事件A_i（i=0，1，2，3），且彼此互斥；记“该射手用这3支已经试射校正过的枪各射击一次，目标被击中的次数为奇数”为事件B．
∵P（A₁）=

C

1 3

(

4

5

)1(

1

5

)2=

12

125

，P（A₃）=

C

3 3

(

4

5

)3=

64

125

∴P（B）=P（A₁）+P（A₃）=

12

125

+

64

125

=

76

125

答：目标被击中的次数为奇数的概率为

76

125

．
（II）ξ可能的取值为0，1，2，3，4
∵P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

5

)3×

4

5

=

4

625

P（ξ=1）=

C

1 3

4

5

×(

1

5

)2×

4

5

+

C

0 3

(

1

5

)3×

1

5

=

49

625

P（ξ=2）=

C

2 3

(

4

5

)2× 

1

5

×

4

5

+

C

1 3

4

5

×(

1

5

)2×

1

5

=

204

625

P（ξ=3）=

C

3 3

(

4

5

)3×

4

5

+

C

2 3

(

4

5

)2×

1

5

×

1

5

=

304

625

P（ξ=4）=

C

3 3

(

4

5

)3×

1

5

=

64

625

∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	4 625	49 625	204 625	304 625	64 625

∴Eξ=0×

4

625

+1×

49

625

+2×

204

625

+3×

304

625

+4×

64

625

=

13

5

答：随机变量ξ的数学期望为

13

5

．

点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了计算能力，属于中档题．