Question

在数列{a_n}中，若a₁、a₂是正整数，且a_n＝|a_n－1－a_n－2|，n＝3，4，5，…，则称{a_n}为“绝对差数列”．

(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；

(2)若“绝对差数列”{a_n}中，a₂₀＝3，a₂₁＝0．数列{b_n}满足b_n＝a_n＋a_n＋1＋a_n＋2，n＝1，2，3，…，分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；

(3)求证：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)a1＝3，a2＝1，a3＝2，a4＝1，a5＝1，a6＝0，a7＝1，a8＝1，a9＝0，a10＝1． 　　(答案不唯一) 　　(2)因为在绝对差数列{an}中，a20＝3，a21＝0，所以自第20项开始，该数列是a20＝3，a21＝0，a22＝3，a23＝3，a24＝0，a25＝3，a26＝3，a27＝0，…，即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3． 　　所以当n→∞时，an的极值不存在． 　　当n≥20时，bn＝an＋an＋1＋an＋2＝6． 　　所以bn＝6． 　　(3)证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项，证明如下(用反证法)： 　　假设{an}中没有零项，由于an＝|an－1－an－2|，所以对于任意的n都有an≥1，从而 　　当an－1＞an－2时，an＝an－1－an－2≤an－1－1(n≥3)； 　　当an－1＜an－2时，an＝an－2－an－1≤an－2－1(n≥3)， 　　即an的值要么比an－1至少小1，要么比an－2至少小1． 　　令cn＝n＝1，2，3，…， 　　则0＜cn≤cn－1－1(n＝2，3，4，…)．由于an是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项ck＜0，这与cn＞0(n＝1，2，3，…)矛盾，从而{an}必有零项． 　　若第一次出现的零项为第n项，记an－1＝A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0、A、A，即 　　 　　所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项． 　　分析：本题以提出一个新概念的方式来考查数列的概念及极限的问题，背景新颖． 　　绿色通道： 　　在用反证法证题时，常用的主要矛盾为：与假设矛盾，与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾，与公认的事实相矛盾．