Question

【题目】已知各项均为整数的数列{an}满足an2≤1，1≤a12+a22+…+an2≤m，m，n∈N* ．
（1）若m=1，n=2，写出所有满足条件的数列{an}；
（2）设满足条件的{an}的个数为f（n，m）．
①求f（2，2）和f（2016，2016）；
②若f（m+1，m）＞2016，试求m的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=1，n=2时，1≤ ≤1，又 ≤1

∴{an}为0，1或0，﹣1或1，0或﹣1，0

（2）解：①当m=n=2时，1≤ ≤2，a1、a2取值共有：32﹣1=8种，

即f（2，2）=8，

又当m=n=2016时，1≤ ≤2016，a1、a2、a2016取值共有：32016﹣1种；

即f（2016，2016）=32016﹣1f（m+1，m）＞2016即1≤ ≤m

②数列{an}需满足不能全为0，不能没有0（即每项均为1或﹣1），

∴f（m+1，m）=3m+1﹣1﹣2m+1，

即考虑3m+1﹣2m+1﹣1＞2016，

令g（m）=3m+1﹣2m+1，

则g（m+1）﹣g（m）=2×3m+1﹣2m+1＞0

∴g（m）单调增

又g（6）=2059成立，

∴m最小值为6

【解析】（1）若m=1，n=2，1≤ ≤1，又 ≤1，即可求得所有满足条件的数列{an}；（2）①）当m=n=2时，1≤ ≤2，由a1、a2可能取值为0，1，﹣1，则a1、a2取值共有：32﹣1=8种，当m=n=2016时，1≤ ≤2016，a1、a2、a2016可能取值为0，1，﹣1，共有：32016﹣1种；②由f（m+1，m）=3m+1﹣1﹣2m+1 ， 将原式转换为3m+1﹣2m+1＞2017，构造辅助函数g（m）=3m+1﹣2m+1 ， 做差g（m+1）﹣g（m）=2×3m+1﹣2m+1＞0，g（x）单调递增，又g（6）=2059成立，即可求得m的最小值．