Question

7．设t＞0，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＜t}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x≥t}\end{array}\right.$的值域为M，若2∉M，则t的取值范围是（$\frac{1}{4}$，1]．

Answer 1

分析 根据指数函数和对数函数的单调性便可求出函数f（x）的值域为M={f（x）|f（x）＜2^t，或f（x）$≤lo{g}_{\frac{1}{2}}t$}，从而由2∉M便可得到$2≥{2}^{t}，且2＞lo{g}_{\frac{1}{2}}t$，这样便可解出t的取值范围．

解答 解：①x＜t时，2^x＜2^t；
②x≥t时，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x≤lo{g}_{\frac{1}{2}}t$；
∴f（x）的值域M={f（x）|f（x）＜2^t，或f（x）$≤lo{g}_{\frac{1}{2}}t$}；
∵2∉M；
∴2≥2^t，且$2＞lo{g}_{\frac{1}{2}}t$；
∴t≤1，且t$＞\frac{1}{4}$；
∴t的取值范围为$（\frac{1}{4}，1]$．
故答案为：（$\frac{1}{4}$，1]．

点评 考查函数值域的概念，分段函数值域的求法，指数函数和对数函数的单调性，元素与集合的关系，以及根据单调性定义解不等式．