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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，正方形ABCD边长为2，内切圆为⊙O，点P是⊙O上任意一点．
    （1）求|
    PA
    +
    PB
    +
    PC
    +
    PD
    |    的值；
    （2）求证：(
    PA
    +
    PB
    )⊥(
    PC
    +
    PD
    )    ．
    分析：（1）利用向量减法的运算分别表示，
    PA
    =
    OA
    -
    OP
    、
    PB
    =
    OB
    -
    OP
    等代入式子，利用
    OA
    +
    OB
    +
    OC
    +
    OD
    =
    O
    ，|
    OP
    |=r    进行求解；
    （2）以圆心O为原点相互垂直的两条直径为坐标轴建立坐标系，设出P的坐标，由向量的坐标表示求出
    PA
    、
    PB
    、
    PC
    、
    PD
    ，由数量积坐标运算求出(
    PA
    +
    PB
    )⊥(
    PC
    +
    PD
    )    ，根据圆的方程，求出结果为零，即证出垂直关系．
    解答：精英家教网（1）解：设正方形内切圆半径为r，则r=1．
    ∵
    PA
    +
    PB
    +
    PC
    +
    PD
    =
    OA
    -
    OP
    +
    OB
    -
    OP
    +
    OC
    -
    OP
    +
    OD
    -
    OP

    =
    OA
    +
    OB
    +
    OC
    +
    OD
    -4
    OP
    ，
    又∵
    OA
    +
    OB
    +
    OC
    +
    OD
    =
    O
    ，|
    OP
    |=r    ，
    ∴|
    PA
    +
    PB
    +
    PC
    +
    PD
    |=4r=4    ．
    （2）证明：以圆心O为原点相互垂直的两条直径为坐标轴建立如图所示的坐标系，
    ∴A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），D（1，-1），P（x，y），
    且x2+y2=1．
    ∴
    PA
    =(1-x，1-y)，
    PB
    =(-1-x，1-y)    ，
    PC
    =(-1-x，-1-y)，
    PD
    =(1-x，-1-y)    ，
    ∴
    PA
    +
    PB
    =(-2x，2-2y)，
    PC
    +
    PD
    =(-2x，-2-2y)    ，
    ∴(
    PA
    +
    PB
    )•(
    PC
    +
    PD
    )=4x2+4y2-4=0    ．
    ∴(
    PA
    +
    PB
    )⊥(
    PC
    +
    PD
    )    ．
    点评：本题的考点是向量在几何上的应用，根据图形的特点利用向量的线性运算进行化简求值，证明垂直时常用数量积的值为零来证明，建立坐标系时利用图形中的垂直关系或对称性．
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    		2
    ，CE=EF=1．
    （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
    （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
    （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

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    8、如图把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下面结论：
    ①AC⊥BD；
    ②CD⊥平面ABC；
    ③AB与BC成60°角；
    ④AB与平面BCD成45°角．
    则其中正确的结论的序号为
    ①③④
    ．

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    		2
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    （I）求证：AB⊥平面ADE；
    （II）（理）在线段BE上存在点M，使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为
    		6
    3
    ，试确定点M的位置．
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    （2010•温州二模）如图，正方形ABCD与正方形CDEF所成的二面角为60°，则直线EC与直线AD所成的角的余弦值为
    		2
    4
    		2
    4
    ．

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