Question

【题目】已知 m>1 且关于 x 的不等式 的解集为 [0,4] .
①求 m 的值；
②若 a ， b 均为正实数，且满足 a+b=m ，求 a2+b2 的最小值.

Answer 1

【答案】【解答】①因为 m>1 ，不等式 可化为 ，
∴ ，即 ，
∵其解集为 [0,4] ，∴ ， m=3 .
②由①知 a+b=3 ，
(方法一：利用基本不等式)
∵ ，
∴ ，∴ a2+b2 的最小值为 .
(方法二：利用柯西不等式)
∵ ，
∴ ，∴ a2+b2 的最小值为 .
(方法三：消元法求二次函数的最值)
∵ a+b=3 ，∴b=3-a ，
∴ ，
∴ a2+b2 的最小值为 .
【解析】本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是(1)先利用 求出不等式的解集，再结合解集的端点值进行求解；(2)解法一：根据两正数为定和，两边平方，借助 进行求解；解法二：构造柯西不等式的形式进行求解；解法三：消元，将其转化为关于 a 的二次函数进行求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二维形式的柯西不等式的相关知识，掌握二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立．