Question

如图，在四面体ABCD中，DA=DB=DC=1，且DA，DB，DC两两互相垂直，点O是△ABC的中心，将△DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与BC所成角的余弦值的取值范围是（　　）

• A、[0， 

  6

  3

  ]
• B、[0， 

  3

  2

  ]
• C、[0， 

  2

  2

  ]
• D、[0， 

  3

  3

  ]

Answer 1

分析：根据异面直线所成角的定义，可得当直线DA与直线BC垂直时它们的所成角是90°，达到最大值．由直线与平面所成角的性质，当点A满足直线BC与OA平行时，直线DA与直线BC所成角等于∠OAD，达到最小值．由此结合题中数据加以计算，即可得到DA与BC所成角的余弦值的取值范围．

解答：解：根据题意，可得在旋转过程中，当直线DA与直线BC垂直时它们的所成角为90°，
此时两条直线所成的角的余弦值为0，达到最小值．
当点A满足直线BC与OA平行时，DA与BC所成的角等于∠OAD，由直线与平面所成角的性质，可得此时两条直线所成的角达到最小值，余弦值达到最大值．
∵DA=DB=DC=1，且DA，DB，DC两两互相垂直，
∴AB=BC=CA=

2

，得到△ABC是边长为

2

的等边三角形，
因此圆0的半径R=

3

3

AB=

6

3

，
设直线BC与OA平行时的点A的位置为A'，
∴Rt△AOD中，cos∠OA'D=

OA′

A′D

=

6

3

，即DA与BC所成的余弦值最大值为

6

3

，
综上所述，直线DA与直线BC所成角余弦值的取值范围是[0，

6

3

]．
故选：A

点评：本题给出正三棱锥中，在Rt△AOD旋转过程中求直线DA与直线BC所成角余弦值的取值范围．着重考查了直线与平面所成角的性质、异面直线所成角的定义与求法、余弦的定义与单调性等知识，属于中档题．