Question

设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+3）+f（x）=0，若f（1）=2，则f（2012）=

-2

．

Answer 1

分析：先由f（x+3）+f（x）=0求出函数周期，利用周期对f（2012）进行化简，再根据偶函数性质及f（1）即可求出答案．

解答：解：由f（x+3）+f（x）=0，得f（x+3）=-f（x），
所以f（x+6）=-f（x+3）=-[-f（x）]=f（x），即T=6为f（x）的周期．
所以f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=f（-1+3）=-f（-1），
又函数f（x）为R上的偶函数，所以f（-1）=f（1）=2，
f（2012）=-2．
故答案为：-2．

点评：本题考查了函数的周期性及应用周期求函数值，解决本题的关键是利用f（x+3）+f（x）=0推导函数周期．