Question

设函数f（x）=x²+（m-1）x-2m-1（m∈R），
（1）设x₁，x₂为方程f（x）=0的两实根，求g（m）=x₁²+x₂²的最小值；
（2）是否存在正数a和常数m，使得x∈[0，a]时，f（x）的值域也为[0，a]？若有，求出所有a和m的值；若没有，也请说明理由．

Answer 1

分析：（1）判断方程有两个根时m的范围，通过韦达定理得到g（m）=x₁²+x₂²的表达式，然后求解最小值；
（2）存在正数a和常数m，使得x∈[0，a]时，f（x）的值域也为[0，a]，利用二次函数单调性，通过分类讨论求出所有a和m的值．

解答：解：（1）△=（m-1）²+4（2m+1）≥0⇒m∈（-∞，-5]∪[-1，+∞） …（2分）
g(x)=x12+x22=m2+2m+3=（m+1）²+2
故m=-1时，g（x）_min=2．…（5分）
（2）假设存在正数a和常数m满足题意，则f（x）_min=0．
①若f（0）=0，则m=-

1

2

，此时f（x）=x²-

3

2

x
当x∈(0，

3

2

)时，f（x）＜0，不符题意，舍；…（2分）
②若f（a）=0，则f（0）=a，a=-2m-1
所以f（a）=（-2m-1）2+（m-1）（-2m-1）-2m-1=0，
得m=-

1

2

（舍）或m=-1，a=1，经检验符合题意；  …（4分）
③若f(

1-m

2

)=0，则m²+6m+5=0⇒m=-1（符合题意）或m=-5
当m=-5时，f（x）=（x-3）²，x∈[0，a]上的值域为[0，a]．
因为f（0）=9，故

a≥9 f(a)=a

无实数解；  …（6分）
综上知，仅当a=1，m=-1时满足题意．…（7分）

点评：本题考查二次函数的性质，函数的单调性的应用，分类讨论思想的应用，考查转化思想与计算能力．