Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=2an﹣1，n∈N*．数列{bn}满足nbn+1﹣（n+1）bn=n（n+1），n∈N*，且b1=1．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若cn=an ，数列{cn}的前n项和为Tn ， 对任意的n∈N*，都有Tn＜nSn﹣a，求实数a的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n使b1 ， am ， bn（n＞1）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m，n，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，S1=2a1﹣1=a1，所以a1=1．

当n≥2时，Sn=2an﹣1，Sn﹣1=2an﹣1﹣1，

两式相减得an=2an﹣1，

从而数列{an}为首项a1=1，公比q=2的等比数列，

从而数列{an}的通项公式为an=2n﹣1．

由nbn+1﹣（n+1）bn=n（n+1），两边同除以n（n+1），

得 ﹣ =1，

从而数列{ }为首项b1=1，公差d=1的等差数列，所以 =n，

从而数列{bn}的通项公式为bn=n2

（2）解：由（1）得cn=an =n2n﹣1，

于是Tn=1×1+2×2+3×22+…+（n﹣1）2n﹣2+n2n﹣1，

所以2Tn=1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

两式相减得﹣Tn=1+21+22+23+…+2n﹣1﹣n2n= ﹣n×2n，

所以Tn=（n﹣1）2n+1

由（1）得Sn=2an﹣1=2n﹣1，

因为任意的n∈N*，都有Tn＜nSn﹣a，

即（n﹣1）2n+1＜n（2n﹣1）﹣a恒成立，

所以a＜2n﹣n﹣1恒成立，

记cn=2n﹣n﹣1，

所以a＜（cn）min，

因为 =2n﹣1＞0，

从而数列{cn}为递增数列，所以当n=1时cn取最小值c1=0，

于是a＜0

（3）解：假设存在正整数m，n（n＞1），使b1，am，bn成等差数列，则b1+bn=2am，

即1+n2=2m，

若n为偶数，则1+n2为奇数，而2m为偶数，上式不成立．

若n为奇数，设n=2k﹣1（k∈N*），则1+n2=1+（2k﹣1）2=4k2﹣4k+2=2m，

于是2k2﹣2k+1=2m﹣1，即2（k2﹣k）+1=2m﹣1，

当m=1时，k=1，此时n=2k﹣1=1与n＞1矛盾；

当m≥2时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立．

综上所述，满足条件的实数对（m，n）不存在

【解析】（1）根据Sn、与 an 的关系可求出数列的通项公式，利用已知整理可得数列{ }时首项b1=1，公差d=1的等差数列，进而得出数列{bn}的通项公式。（2）根据题意利用乘以公比列项相减可得到Tn=（n﹣1）2n+1，再根据已知得到（n﹣1）2n+1＜n（2n﹣1）﹣a恒成立即a＜2n﹣n﹣1恒成立，证明得到数列{cn}为递增数列，所以当n=1时cn取最小值c1=0，得到a的取值范围。（3）假设存在根据题意判断得到若n为偶数上式不成立，若n为奇数即2（k2﹣k）+1=2m﹣1，对此式子进行分析得到均不成立，故满足条件的实数对（m，n）不存在。