Question

定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（4-x）=f（x）．现有以下三种叙述：
①8是函数f（x）的一个周期；
②f（x）的图象关于直线x=2对称；
③f（x）是偶函数．
其中正确的是（　　）

• A、②③
• B、①②
• C、①③
• D、①②③

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：由f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，将x换成x+2，即可得到f（x+4）=f（x），即可判断①；
由f（x）满足f（4-x）=f（x），即有f（2+x）=f（2-x），由对称性，即可判断②；
由周期性和对称性，即可得到f（-x）=f（x），即可判断③．

解答： 解：对于①，由于定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，
则f（x+2）=-f（x），即有f（x+4）=-f（x+2），则f（x+4）=f（x），
即4是函数的最小正周期，故①对；
对于②，由于f（x）满足f（4-x）=f（x），即有f（2+x）=f（2-x），
即f（x）的图象关于直线x=2对称，故②对；
对于③，由于f（4-x）=f（x），即有f（-x）=f（x+4），
又f（x+4）=f（x），则f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数，故③对．
故选D．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和对称性、周期性及运用，属于中档题．