Question

如图，M是正方体的棱的中点，给出命题

①过M点有且只有一条直线与直线、都相交；

②过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；

③过M点有且只有一个平面与直线、都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线、都平行.

其中真命题是（    ）

A．②③④     B．①③④      C．①②④       D．①②③

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】解：直线AB与B₁C₁ 是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：

取C₁C的中点N，则MN∥AB，且 MN=AB，设BN 与B₁C₁交于H，则点 A、B、M、N、H 共面，

直线HM必与AB直线相交于某点O．

所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B₁C₁都相交；故①正确．

过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直，此垂线就是棱DD₁，故②正确．

过M点有无数个平面与直线AB、B₁C₁都相交，故 ③不正确．

过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．

综上，①②④正确，③不正确，