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【题目】如图所示,三棱锥放置在以为直径的半圆面上,为圆心,为圆弧上的一点,为线段上的一点,且.

(Ⅰ)求证:平面平面

(Ⅱ)当二面角的平面角为时,求的值.

【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)通过勾股定理,证明,得到平面,再证明平面,得到平面平面.

(Ⅱ)建立空间直角坐标系,设,表示出面的一个法向量和面的一个法向量,然后将二面角转化为两个法向量之间的夹角,利用向量的夹角公式,求出,从而得到的值.

解:(Ⅰ)证明:

平面.

平面

,圆心中点,所以.

,故平面

平面

所以平面平面.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面,且,过点的平行线,

建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意知

为平面的一个法向量,

,则,所以

取平面的一个法向量为.

因为二面角的平面角为

所以

解得(舍去),

所以当二面角的平面角为时,.

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