Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+x²．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a-2，6b-6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设x＜0，则-x＞0，利用x≥0时，f（x）=x+x²．得到f（-x）=-x+x²，再由奇函数的性质得到f（-x）=-f（x），代换即可得到所求的解析式．
（2）假设存在这样的数a，b．利用函数单调性的性质建立方程求参数，若能求出，则说明存在，否则说明不存在．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0，于是f（-x）=-x+x²，
又f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），∴-f（x）=-x+x²，
即x＜0时，f（x）=x-x²．…（4分）
（2）假设存在这样的数a，b．
∵a≥0，且f（x）=x+x²在x≥0时为增函数，…（6分）
∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（a），f（b）]=[4a-2，6b-6]，
∴

6b-6=f(b)=b2+b 4a-2=f(a)=a2+a

…（8分）
?

b2-5b+6=0 a2-3a+2=0

?

b=2或b=3 a=1或a=2

，即

a=1 b=2

或

a=1 b=3

…（10分）
或

a=2 b=2

或

a=2 b=3

，考虑到0≤a＜b，且4a-2＜6b-6，…（12分）
可得符合条件的a，b值分别为

a=1 b=2

或

a=1 b=3

或

a=2 b=3.

…（14分）

点评：本题考查函数奇偶性的性质以及函数的值域，解题的关键是利用函数的性质进行灵活代换求出解析式，第二问的解题关键是根据单调性建立方程求参数，此是函数中求参数常用的建立方程的方式．