Question

10．已知向量$\vec a$=（cosα，-1），$\vec b$=（2，sinα），且$\vec a•\vec b=0$
（1）求tan（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求$\frac{sin2α}{{{{sin}^2}α-cos2α-1}}$的值．

Answer 1

分析 由数量积的坐标运算求得tanα=2．
（1）展开两角和的正切，代入tanα的值得答案；
（2）把分母中的1换为sin²α+cos²α，然后分子分母同时除以cos²α，转化为正切求解．

解答 解：∵$\vec a$=（cosα，-1），$\vec b$=（2，sinα），且$\vec a•\vec b=0$，
∴2cosα-sinα=0，即tanα=2．
（1）tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanα•tan\frac{π}{4}}=\frac{2+1}{1-2×1}=-3$；
（2）$\frac{sin2α}{{{{sin}^2}α-cos2α-1}}$=$\frac{2sinα•cosα}{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α+si{n}^{2}α-si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}$
=$\frac{2sinα•cosα}{si{n}^{2}α-2co{s}^{2}α}=\frac{2tanα}{ta{n}^{2}α-2}=\frac{2×2}{{2}^{2}-2}=2$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．