Question

设实数x，y满足不等式组

x-y-1≥0 2x-y-6≤0 x+y-k-2≥0

且x²+y²的最小值为m，当9≤m≤25时，实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据z=x²+y²，利用几何意义：点P（x，y）到原点距离的平方来求最值，只需求出可行域内满足最小值的点A（x，y）关于k的表达式，再代入已知条件9≤m≤25，即可求得实数k的取值范围．

解答：解：先根据约束条件画出可行域，
其中目标函数：z=x²+y²，
表示可行域内点P（x，y）到原点距离的平方，
当点P在第一象限，且为l₁：x-y-1=0和l₂：x+y-k-2=0
的交点时，z取得最小值
此时P（

k+3

2

，

k+1

2

），z=

1

4

（k+3）²+

1

4

（k+1）²
∵x²+y²的最小值为m，且9≤m≤25，
∴9≤

1

4

（k+3）²+

1

4

（k+1）²≤25
解之得k∈[

17

-2，5]
故答案为：[

17

-2，5]

点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．