Question

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=120°．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O-PM-D的正切值为2

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，求线段PA的长．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC．
（2）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A-PM-D的平面角，利用二面角O-PM-D的正切值为2

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，即可求出PA的长．

解答： （1）证明：∵四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵底面ABCD是边长为4的菱形，
∴BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
又BD?平面PBA，∴平面PBD⊥平面PAC．
（2）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，
因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，
所以∠OHD为A-PM-D的平面角，
设PA=b，∵底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=120°，
∴OD=2

3

，OM=1，AM=3，且

OH

OM

=

AP

PM

，
从而OH=

OM•AP

PM

=

1•b

b2+ 9 4

=

2b

4b2+9

，
∴tan∠OHD=

OD

OH

=

3(16b2+36)

2b

，
所以16b²=144，解得b=3．（舍负值）
∴PA的长为3．

点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．