Question

在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：OD∥平面PAC；
（2）求证：PO⊥平面ABC；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

解：（1）∵O，D分别为AB，PB的中点，∴OD∥PA
又PA?平面PAC，OD?平面PAC
∴OD∥平面PAC．…（4分）
（2）如图，连接OC
∵，O为AB中点，AB=2，
∴OC⊥AB，且OC==1．
同理，PO⊥AB，PO=1．…（6分）
又∵，
∴PC²=2=OC²+PO²，得∠POC=90°．
∴PO⊥OC．
∵OC、AB⊆平面ABC，AB∩OC=O，
∴PO⊥平面ABC．…（8分）
（3）∵PO⊥平面ABC，∴OP为三棱锥P-ABC的高，
结合OP=1，得棱锥P-ABC的体积为． …（12分）
分析：（1）由三角形中位线定理，得出OD∥PA，结合线面平行的判定定理，可得OD∥平面PAC；
（2）等腰△PAB和等腰△CAB中，证出PO=OC=1，而PC=，由勾股定理的逆定理，得PO⊥OC，结合PO⊥AB，可得PO⊥平面ABC；
（3）由（2）易知PO是三棱锥P-ABC的高，算出等腰△ABC的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥P-ABC的体积．
点评：本题给出特殊三棱锥，求证线面平行、线面垂直并求锥体体积，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．