Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，且对于所有的正整数n，有4S_n=（a_n+1）²．
（I）求a₁，a₂的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）令b₁=1，b_2k=a_2k-1+（-1）^k，b_2k+1=a_2k+3^k（k=1，2，3，…），求{b_n}的前20项和T₂₀．

Answer 1

解：（I）当n=1时，4a₁=（a₁+1）²
∴（a₁-1）²=0，a₁=1
当n=2时，4（a₁+a₂）=（a₂+1）²，
∴a₂=3．（3分）
（II）∵4S_n=（a_n+1）²，4S_n-1=（a_n-1+1）²，相减得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵{a_n}是正数组成的数列
∴a_n-a_n-1=2，∴a_n=2n-1．（8分）
（Ⅲ）T₂₀=b₁+[a₁+（-1）¹]+（a₂+3¹）+[a₃+（-1）²]+（a₄+3²）+…+[a₁₉+（-1）¹⁰]
=1+S₁₉+（3+3²+…+3⁹）=．（14分）
分析：（I）求a₁，a₂的值，对n赋值即可算得；
（II）求数列{a_n}的通项公式，需对题目中条件4S_n=（a_n+1）²，对任意非负正整数恒成立进行理解，并依据其形式来构造出4S_n-1=（a_n-1+1）²，作差整理出a_n-a_n-1=2判断出数列是等差数列来．
（III）的求解应根据题设中的条件将前20项的和T₂₀．表示出来，然后再根据具体的形式来求解．
点评：本题是一个层层推进式的题，其中第II问构造出另一个恒等式是难点，III的求解需根据具体形式来分组分别求解．