Question

如图，在正方体AC₁中，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点H是△A₁BD的垂心
B．AH的延长线经过点C₁
C．AH垂直平面CB₁D₁
D．直线AH和BB₁所成角为45°

Answer 1

【答案】分析：因为三棱锥A-A₁BD是正三棱锥，所以H是正三角形-A₁BD的中心，故A正确；根据正三棱锥A-A₁BD和正三棱锥C₁-A₁BD的高线都经过H点，结合垂线的唯一性可得B正确；根据平面A₁BD∥平面CB₁D₁，结合面面平行的性质，得到C正确；通过计算可得直线AH和BB₁所成角为arcsin，故D不正确．
解答：解：对于A，因为三棱锥A-A₁BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面正三角形的中心，所以点H是也是△A₁BD的垂心，故A正确；
对于B，因为三棱锥C₁-A₁BD是正三棱锥，而H是底面的中心，故C₁H是正三棱锥C₁-A₁BD的高线，因为经过点H与平面A₁BD垂直的直线有且只有一条，故A、H、C₁三点共线，即AH的延长线经过点C₁，故B正确；
对于C，因为平面A₁BD∥平面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以根据面面平行的性质，可得AH垂直平面CB₁D₁，故C正确；
对于D，可在正三棱锥A-A₁BD中，算出sin∠A₁AH=，结合AA₁∥BB₁，可得直线AH和BB₁所成角为arcsin，故D不正确．
故选D
点评：本题给出正方体模型，要我们判断几个命题的真假，着重考查了空间的平行与垂直的位置关系和正三棱锥的性质等知识点，属于基础题．