Question

19．向曲线x²+y²=|x|+|y|所围成的区域内任投一点，这点正好落在y=1-x²与x轴所围成区域内的概率为$\frac{4}{3π+6}$．

Answer 1

分析 欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．

解答 解：曲线x²+y²=|x|+|y|所围成的区域为分别以（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），为圆心，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为半径的圆，如图所示的面积，其面积为4×π×$\frac{1}{2}$-2（$\frac{π}{2}$-1）=π+2，
y=1-x²与x轴所围成区域S=${∫}_{-1}^{1}$（1-x²）dx=（x-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-1}^{1}$=$\frac{4}{3}$，
故这点正好落在y=1-x²与x轴所围成区域内的概率为$\frac{4}{3π+6}$，
故答案为：$\frac{4}{3π+6}$．

点评 本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．