Question

18．数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n-a_n+1=2S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：数列{2a_n-1}是等差数列；
（2）若a₁=1，a₃=3，b_n=$\frac{36}{（2{a}_{n+1}+1）（2{a}_{n}+1）}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过对2S_n-a_n+1=2S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*）变形可知2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），进而可知2（2a_n-1）=（2a_n+1-1）+（2a_n-1-1）（n≥2，n∈N^*）；
（2）通过a₁=1、a₃=3及（1）可知数列{2a_n-1}是首项为1、公差为2的等差数列，进而计算可知a_n=n，裂项可知b_n=18（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），并项相加即得结论．

解答 （1）证明：∵2S_n-a_n+1=2S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴2（2a_n-1）=（2a_n+1-1）+（2a_n-1-1）（n≥2，n∈N^*），
∴数列{2a_n-1}是等差数列；
（2）解：∵a₁=1，a₃=3，
∴2a₁-1=1，$\frac{（2{a}_{3}-1）-（2{a}_{1}-1）}{3-1}$=a₃-a₁=3-1=2，
∴数列{2a_n-1}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴2a_n-1=1+2（n-1）=2n-1，即a_n=n，
∴b_n=$\frac{36}{（2{a}_{n+1}+1）（2{a}_{n}+1）}$=$\frac{36}{（2n+3）（2n+1）}$=18（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴T_n=18（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）=18（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=6-$\frac{18}{2n+3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．