【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q是AD的中点.
(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若平面APD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,在线段PC上是否存在点M,使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°.若存在,试确定点M的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)证明:∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD,
又∵底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴BQ⊥AD,
又PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PQB,
又∵AD平面PAD,
∴平面PQB⊥平面PAD
(2)解:∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,
∴PQ⊥平面ABCD,
以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,如图
则Q(0,0,0),P(0,0, ),B(0, ,0),C(﹣2, ,0)
设 ,0<λ<1,则M(﹣2λ, , ),
平面CBQ的一个法向量 =(0,0,1),
设平面MBQ的法向量为 =(x,y,z),
由 ,得 =( ,0, ),
∵二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°,
∴cos60°=|cos< >|=| |= ,
解得 ,∴ = ,
∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意.
【解析】(1)由已知得PQ⊥AD,BQ⊥AD,由此能证明平面PQB⊥平面PAD.(2)以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意.
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点,需要掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能正确解答此题.
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【题目】下列四种说法中,
①命题“存在x∈R,x2﹣x>0”的否定是“对于任意x∈R,x2﹣x<0”;
②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件;
③已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2, ),则f(4)的值等于 ;
④已知向量 =(3,﹣4), =(2,1),则向量 在向量 方向上的投影是 .
说法错误的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图,⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B,C,T,且与AT相切,交AB的延长线于点D.
(1)求证:AT2=BTAD;
(2)E、F是BC的三等分点,且DE=DF,求∠A.
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【题目】已知数据a1,a2,…,an的平均数为a,方差为s2,则数据2a1,2a2,…,2an的平均数和方差分别为( )
A. a,s2 B. 2a,s2
C. 2a,2s2 D. 2a,4s2
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为 (t为参数,α为直线的倾斜角).
(I)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.
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【题目】已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=﹣f( ),b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c
B.b<a<c
C.c<b<a
D.c<a<b
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【题目】某产品有4件正品和2件次品混在了一起,现要把这2件次品找出来,为此每次随机抽取1件进行测试,测试后不放回,直至次品全部被找出为止.
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;
(2)设所要测试的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若g(x)=xf(x)+mx在区间(0,e]上的最大值为﹣3,求m的值;
(3)若x≥1时,有不等式f(x)≥ 恒成立,求实数k的取值范围.
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