Question

2．已知tanα=$\frac{2}{3}$，求下列各式的值．
（1）$\frac{cosα-sinα}{cosα+sinα}$+$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$；
（2）$\frac{1}{sinαcosα}$；
（3）sin²α-2sinαcosα+4cos²α．

Answer 1

分析 化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．

解答 解：tanα=$\frac{2}{3}$，
（1）$\frac{cosα-sinα}{cosα+sinα}$+$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$
=$\frac{1-tanα}{1+tanα}$+$\frac{1+tanα}{1-tanα}$
=$\frac{1-\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}$+$\frac{1+\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}$
=$\frac{1}{5}+5$
=$\frac{26}{5}$；
（2）$\frac{1}{sinαcosα}$
=$\frac{{sin}^{2}α+{cos}^{2}α}{sinαcosα}$
=$\frac{{tan}^{2}α+1}{tanα}$
=$\frac{{（\frac{2}{3}）}^{2}+1}{\frac{2}{3}}$
=$\frac{13}{6}$；
（3）sin²α-2sinαcosα+4cos²α
=$\frac{{sin}^{2}{α-2sinαcosα+4cos}^{2}α}{{sin}^{2}α+{cos}^{2}α}$
=$\frac{{tan}^{2}{α-2tanα+}^{\;}4}{{tan}^{2}α+1}$
=$\frac{{（\frac{2}{3}）}^{2}{-2×\frac{2}{3}+}^{\;}4}{{（\frac{2}{3}）}^{2}+1}$
=$\frac{4-12+36}{13}$
=$\frac{28}{13}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力．