Question

7．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+a的最大值为1
（1）求常数a的值
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最大值为1，得到2+a=1，即可求常数a的值
（2）根据三角函数的图象和性质解不等式f（x）≥0即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+a的最大值为1，
∴当2sin（x+$\frac{π}{3}$）=1时，函数取得最大值为2+a=1，
即a=-1．
（2）∵a=-1，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-1，
则由f（x）≥0得2sin（x+$\frac{π}{3}$）-1≥0，
即sin（x+$\frac{π}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，
即2kπ+$\frac{π}{6}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即2kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即x的取值范围是[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的有界性先求出a的值是解决本题的关键．