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已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q(q>1).设sn=a1b1+a2b2+…+anbn,Tn=a1b1-a2b2+…+(-1)n-1anbn,n∈N+
(1)若a1(2)=b1(3)=1,d=2,q=3,求S3的值;
(Ⅱ)若b1(6)=1,证明(1-q)S2n-(1+q)T2n=
2dq(1-q2n)1-q2
,n∈(10)N+
(Ⅲ)若正数n满足2≤n≤q,设k1,k2,…,kn和l1,l2,…,ln是1,2,…,n的两个不同的排列,c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn,c2=al1b1+al2b2+…+alnbn证明c1≠c2
分析:(Ⅰ)由题设,可得an=2n-1,bn=3n-1,n∈N*,由此可求出S3的值.
(Ⅱ)证明:由题设可得bn=qn-1则S2n=a1+a2q+a3q2++a2nq2n-1,T2n=a1-a2q+a3q2-a4q3+-a2nq2n-1,由此能够推导出(1-q)S2n-(1+q)T2n=
2dq(1-q2n)
1-q2

(Ⅲ)证明:由题设条件可知
c1-c2
db1
=(k1-l1)+(k2-l2)q++(kn-ln)qn-1
,由此入手能够导出c1≠c2
解答:(Ⅰ)解:由题设,可得an=2n-1,bn=3n-1,n∈N*
所以,S3=a1b1+a2b2+a3b3=1×1+3×3+5×9=55
(Ⅱ)证明:由题设可得bn=qn-1则S2n=a1+a2q+a3q2++a2nq2n-1,①
T2n=a1-a2q+a3q2-a4q3+-a2nq2n-1
S2n-T2n=2(a2q+a4q3+-a2nq2n-1
1式加上②式,得S2n+T2n=2(a1+a3q2++a2n-1q2n-2)③
2式两边同乘q,得q(S2n+T2n)=2(a1q+a3q3++a2n-1q2n-1
所以,(1-q)S2n-(1+q)T2n=(S2n-T2n)-q(S2n+T2n
=2d(q+q3++q2n-1
=
2dq(1-q2n)
1-q2
,n∈N*

(Ⅲ)证明:c1-c2=(ak1-al1)b1+(ak2-al2)b2++(akn-aln)bn
=(k1-l1)db1+(k2-l2)db1q++(kn-ln)db1qn-1
因为d≠0,b1≠0,所以
c1-c2
db1
=(k1-l1)+(k2-l2)q++(kn-ln)qn-1

(1)若kn≠ln(2),取i=n
(3)若kn=ln(4),取i满足ki≠li(5)且kj=lj,i+1≤j≤n(6)
由(1),(2)及题设知,1<i≤n
c1-c2
db1
=(k1-l1)+(k2-l2)q+(ki-1-li-1)qi-2+(ki-li)qi-1

1当ki<li2时,得ki-li≤-1,由q≥n,
得ki-li≤q-1,i=1,2,3i-13
即k1-l1≤q-1,(k2-l2)q≤q(q-1),(ki-1-li-1)qi-2≤qi-2(q-1)
又(ki-li)qi-1≤-qi-1
所以
c1-c2
db1
=(q-1)+(q-1)q+(q-1)qi-2-qi-1=(q-1)
1-qi-1
1-q

因此c1-c2≠0,即c1≠c2
4当ki>li5同理可得
c1-c2
db1
<-1
6,因此c1≠c27.综上,c1≠c2
点评:本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力.
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