Question

如图，已知某椭圆的焦点是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10，椭圆上不同的两点A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列.

(1)求该椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.

Answer 1

解: (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F₁B|+|F₂B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3  故椭圆方程为=1.

(2)由点B(4,y_B)在椭圆上，得|F₂B|=|y_B|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F₂A|=(－x₁),|F₂C|=(－x₂)，由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列，得  (－x₁)+(－x₂)=2×,由此得出：x₁+x₂=8.   设弦AC的中点为P(x₀,y₀),则x₀==4.

(3)解析法一：由A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)在椭圆上.

① ②

得                            ,  ①－②得9(x₁²－x₂²)+25(y₁²－y₂²)=0,

即9×=0(x₁≠x₂)

 将 (k≠0)

代入上式，得9×4+25y₀(－)=0(k≠0)  即k=y₀(当k=0时也成立).

由点P(4，y₀)在弦AC的垂直平分线上，得y₀=4k+m,所以m=y₀－4k=y₀－y₀=－y₀.

由点P(4，y₀)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y₀＜,所以－＜m＜.

解析法二：因为弦AC的中点为P(4,y₀)，所以直线AC的方程为y－y₀=－(x－4)(k≠0)   ③  ,

   将③代入椭圆方程=1,得(9k²+25)x²－50(ky₀+4)x+25(ky₀+4)²－25×9k²=0

所以x₁+x₂==8,解析得k=y₀.(当k=0时也成立)

(以下同解析法一).