Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，P为A₁B上的点，

A1P

=λ

A1B

，且PC⊥AB．
（1）求λ的值；
（2）求异面直线PC与AC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设出正三棱柱的棱长，以底面上一边的中点为原点建立坐标系，写出要用的各个点的坐标，得到向量的坐标，根据向量的垂直关系，要求的实数的值．
（2）在两条异面直线上构造两个向量，根据两个向量的坐标，写出两个向量的夹角的余弦，是一个负值，根据异面直线所成的角是不大于90°的角，得到余弦值．

解答：解：（1）设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，
则：A（0，-1，0），B(

3

，0，0)，C（0，1，0），A₁（0，-1，2），
B1(

3

，0，2)，C₁（0，1，2），
∴

AB

=(

3

，1，0)，

CA1

=(0，-2，2)，

A1B

=(

3

，1，-2)，
∵PC⊥AB，
∴

CP

•

AB

=0，(

CA1

+

A1P

)•

AB

=0，(

CA1

+λ

A1B

)•

AB

=0，λ=-

CA1 • AB

A1B • AB

=

1

2

（2）由（1）知：

CP

=(

3

2

，-

3

2

，1)，

AC1

=(0，2，2)，cos＜

CP

，

AC1

＞=

CP • AC1

| CP |•| AC1 |

=

-3+2

2•2 2

=-

2

8

，
∴异面直线PC与AC₁所成角的余弦值是

2

8

．

点评：本题考查用空间向量解决立体几何中的夹角和距离的问题，是一个典型的题目，解题的关键是要用的点的坐标比较多，写起来比较繁琐，注意不要出错．