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若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
a
24
对一切正整数n都成立,
(1)猜想正整数a的最大值,
(2)并用数学归纳法证明你的猜想.
(1)当n=1时,
1
1+1
+
1
1+2
+
1
3+1
a
24
,即
26
24
a
24

所以a<26,
a是正整数,所以猜想a=25.
(2)下面利用数学归纳法证明
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
25
24

①当n=1时,已证;
②假设n=k时,不等式成立,即
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k+1
25
24

则当n=k+1时,
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
3(k+1)+1

=
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
1
k+1

25
24
+[
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
2
3(k+1)
]

因为
1
3k+2
+
1
3k+4
=
6(k+1)
9k2+18k+8
2
3(k+1)

所以
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
2
3(k+1)
>0

所以当n=k+1时不等式也成立.
由①②知,对一切正整数n,都有
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
25
24

所以a的最大值等于25.…(14分)
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1
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