Question

设集合S={1，2，3，4，5}，从5的所有非空子集中，等可能的取出一个．
（1）设A⊆S，若x∈A，则6-x∈A，就称子集A满足性质p，求所取出的非空子集满足性质p的概率；
（2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,元素与集合关系的判断

专题：概率与统计

分析：（1）基本事件总数n=

C

1 5

+

C

2 5

+

C

3 5

+

C

4 5

+

C

5 5

=31，满足条件的A的集合共有m=7个，由此能求出所取出的非空子集满足性质p的概率．
（2）依题意，ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

解答： 解：（1）基本事件总数n=

C

1 5

+

C

2 5

+

C

3 5

+

C

4 5

+

C

5 5

=31，
∵设A⊆S，若x∈A，则6-x∈A，
∴A的集合为：{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，
{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共有m=7个，
∴所取出的非空子集满足性质p的概率P=

m

n

=

7

31

．
（2）依题意，ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5
则P（ξ=1）=

C 1 5

31

=

5

31

，
P（ξ=2）=

C 2 5

31

=

10

31

，
P（ξ=3）=

C 3 5

31

=

10

31

，
P（ξ=4）=

C 4 5

31

=

5

31

，
P（ξ=5）=

C 5 5

31

=

1

31

，
故ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4	5
P	5 31	10 31	10 31	5 31	1 31

从而Eξ=1×

5

31

+2×

10

31

+3×

10

31

+4×

5

31

+5×

1

31

=

80

31

．

点评：本题考查等可能事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．