Question

已知数列{a_n}  的通项a_n=n，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入3^k-1个2（如在a₁与a₂之间插入3⁰个2，a₂与a₃之间插入3¹个2，a₃与a₄之间插入3²个2，…，依次类推），得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列{d_n}的前n项和，则S₁₂₀=

245

．

Answer 1

分析：先计算d₁₂₀在数列{a_n}中处于哪个位置，办法是设其处于k和k+1之间，则求出1+3+3²+3³+3^k-1+（k+1）≥120时的k的最小值，再进一步容易得到d₁₂₀的准确位置，再求和就容易了

解答：解：依题意，设d₁₂₀在数列{a_n}中处于a_k与a_k+1之间，即处于k和k+1之间，
由1+3+3²+3³+3^k-1+（k+1）≥120 得 k≥5
k=5时，数列{d_n}共有127项
∴d₁₂₀在数列中处于5与6之间的第3^5-1-6=75个2处
∴S₁₂₀=1+2+3+4+5+2×（1+3+3²+3³+75）=245
故答案为245

点评：本题考察了等差等比数列求和等基础知识，特别注重观察数列的规律，考察了归纳推理能力．