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    如图，已知椭圆C：
    x2
    36
    +
    y2
    20
    =1的左顶点，右焦点分别为A，F，右准线为l，N为l上一点，且在x轴上方，AN与椭圆交于点M．
    （1）若AM=MN，求证：AM⊥MF；
    （2）过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求PQ的最小值．
    分析：（1）要证AM⊥MF，只需证
    MA
    •
    MF
    =0    ，分别求出
    MA
    ，
    MF
    的坐标，利用数量积的坐标运算计算即可．
    （2）欲求|PQ|的范围，需先将|PQ|用某个参数表示，再求最值，可先找到圆心坐标和半径，再利用圆中半径，半弦，弦心距组成的直角三角形，得到用参数表示的|PQ|，再用均值不等式求PQ的最小值．
    解答：解：（1）由题意得A（-6，0），F（4，0），由准线l：x=
    a2
    c
    =9    ，∴xN=9，∴xM=
    3
    2
    ．
    又M点在椭圆上，且在x轴上方，得yM=
    5
    		3
    2
    ，
    ∴
    MA
    =(-
    15
    2
    ，-
    5
    		3
    2
    )，
    MF
    =(
    5
    2
    ，-
    5
    		3
    2
    )    ．
    ∴
    MA
    •
    MF
    =-
    75
    4
    +
    75
    4
    =0    ．
    ∴AM⊥MF；
    （2）设N（9，t），其中t＞0，∵圆过A，F，N三点，
    ∴设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，有
    36-6D+F=0
    16+4D+F=0
    81+t2+9D+tE+F=0
    ，
    解得，D=2，E=-t-
    75
    t
    ，F=-24．
    ∴圆心为(-1，
    1
    2
    (t+
    75
    t
    ))    ，半径r=
    		25+
    1
    4
    (t+
    75
    t
    )2
    ．
    ∴|PQ|=2
    		r2-1
    =2
    		24+(t+
    75
    t
    )2
    ．
    ∵t＞0，∴t+
    75
    t
    ≥2
    		t•
    75
    t
    =10
    		3
    ，当且仅当t=
    75
    t
    ，即当t=5
    		3
    时取“=”．
    ∴|PQ|的最小值是2
    		99
    =6
    		11
    ．
    点评：本题考查了直线与圆锥曲线，圆与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了利用基本不等式求最值，属难题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
    （1）已知椭圆C1：
    x2
    4
    +y2=1和C2：
    x2
    16
    +
    y2
    4
    =1，判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；
    （2）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1的离心率为
    		3
    2
    ，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程：
    （Ⅱ）若S△PMN=
    3
    2
    ，求直线AB的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•深圳一模）如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		3
    2
    ，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）求
    TM
    •
    TN
    的最小值，并求此时圆T的方程；
    （3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左顶点，右焦点分别为A、F，右准线为m．圆D：x2+y2+x-3y-2=0．
    （1）若圆D过A、F两点，求椭圆C的方程；
    （2）若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围．
    （3）在（1）的条件下，若直线m与x轴的交点为K，将直线l绕K顺时针旋转
    π
    4
    得直线l，动点P在直线l上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值．

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