Question

（2012•韶关二模）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，且

cosA

cosB

=

b

a

=

3

1

．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧

AC

上，∠PAB=θ，用θ的三角函数表示三角形△PAC的面积，并求△PAC面积最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式

cosA

cosB

=

b

a

，整理后再利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，再利用正弦函数的图象与性质得到A与B相等或A与B互余，由b与a的比值不相等，得到A不等于B，故A与B互余，可得出C为直角，则此三角形为直角三角形，得证；
（2）由三角形ABC为直角三角形，根据a与b的比值，以及c的值，利用勾股定理求出a与b的值，再由一条直角边等于斜边的一半，可得出此直角边所对的角为30°，即∠BAC为30°，又∠PAB=θ，用∠PAB-∠BAC表示出∠PAC，同时在直角三角形PAB中，由AB的长及∠PAB=θ，利用锐角三角函数定义表示出PA，由AC，PA及sin∠PAC，利用三角形的面积公式表示出三角形APC的面积，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据θ的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质可得出正弦函数的值域，进而确定出面积的最大值．

解答：解：（1）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

得：

b

a

=

sinB

sinA

，
又

cosA

cosB

=

b

a

，
∴

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，整理为sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
∵

b

a

=

3

1

，∴A=B舍去，
由A+B=

π

2

可知：C=

π

2

，
则△ABC是直角三角形；…（6分）

（2）由△ABC是直角三角形，

b

a

=

3

1

，
设a=k，则b=

3

k，又c=2，
根据勾股定理得：k²+3k²=4，即k²=1，
解得：k=1，则a=1，b=

3

，…（7分）
∵直角三角形ABC中，a=

1

2

c，
∴∠BAC=

π

6

，
由圆周角定理得到△PAB为直角三角形，又∠PAB=θ，
∴PA=AB•cosθ=2cosθ，
∴S_△PAC=

1

2

PA•AC•sin（θ-

π

6

）=

1

2

•2cosθ•

3

sin（θ-

π

6

）=

3

cosθsin（θ-

π

6

）…（9分）
=

3

cosθ（

3

2

sinθ-

1

2

cosθ）=

3

4

（

3

sin2θ-cos2θ）-

3

4

=

3

2

sin（2θ-

π

6

）-

3

4

，…（12分）
∵

π

6

＜θ＜

π

2

，∴

π

6

＜2θ-

π

6

＜

5

6

π，
当2θ-

π

6

=

π

2

，即θ=

π

3

时，S_△PAC最大值等于

3

4

．…（14分）

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，三角形的面积公式，正弦函数的定义域与值域，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．