Question

2．已知当α=$\frac{π}{6}$时，sinα＜α＜tanα，那么对于任意0＜α＜$\frac{π}{2}$，sinα＜α＜tanα是否成立？

Answer 1

分析 由条件构造函数，利用导数的符号证明函数的单调性，由函数的单调性比较函数的值的大小，从而得出结论．

解答 解：由0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得sinα、α、tanα都是正实数．
设f（α）=α-sinα，求导得：f′（α）=1-cosα＞0，
因此，f（α）=α-sinα在α∈（0，$\frac{π}{2}$）上是个增函数，
则有f（α）=α-sinα＞f（0）=0，即sinα＜α．
同理，令g（α）=tanα-α，则g′（α）=$\frac{1}{co{s}^{2}α}$-1＞0，
所以，g（α）=tanα-α在α∈（0，$\frac{π}{2}$）上也是个增函数，
也有g（α）=tanα-α＞g（0）=0，即tanα＞α．
综上，当α∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinα＜α＜tanα．

点评 本题主要考查利用导数的符号证明函数的单调性，利用函数的单调性比较函数的值的大小，属于基础题．