Question

已知数列{a_n}满足如图所示的程序框图．
（Ⅰ）写出当n=1，2，3时输出的结果；
（Ⅱ）写出数列{a_n}的一个递推关系式，并证明：{a_n+1-3a_n}是等比数列；
（Ⅲ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I） 根据程序框图分别计算出当n=1，2，3时输出的结果；
（Ⅱ）由程序框图可直接得到数列{an}的一个递推关系式a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n，将a _n+2=5a_n+1-6a_n移向变形得出a_n+2-3a_n+1 =2（a _n+1-3a_n），从而可证{a_n+1-3a_n}是等比数列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求出a_n+1-3a_n=-2 ⁿ两边同除以3ⁿ⁺¹变形构造出

an+1

3n+1

-

an

3n

=-

1

3

× (

2

3

)n，然后利用累积法可求出数列的通项，再利用等比数列求和公式可求出前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由程序框图可知，数列{an}的一个递推关系式a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n
∴n=1时输出a₃=5-6=-1，n=2时输出a₄=5×（-1）-6=-11，n=3时输出a₄=5×（-11）-6×（-1）=-49
（Ⅱ）数列{a_n}的一个递推关系式，a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n；
则a_n+2-3a_n+1 =2（a _n+1-3a_n），且a₂-3a₁=-2
∴数列{a_n+1-3a_n}是以-2为首项，2为公比的等比数列
（III）由（II）有a_n+1-3a_n=-2 ⁿ
∴

an+1

3n+1

-

an

3n

=-

1

3

× (

2

3

)n
∴

an

3n

=

a1

3

+（

a2

32

-

a1

3

）+（

a3

33

-

a2

32

）+…+（

an

3n

-

an-1

3n-1

）（n≥2）
=

1

3

-

1

3

×

2

3

-

1

3

×(

2

3

)2-

1

3

×(

2

3

)n-1
=(

2

3

)n-

1

3

∴a_n=2ⁿ-3^n-1（n≥2）
当n=1时，也满足上式，故a_n=2ⁿ-3^n-1
前n项和S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+3+3²+…+3^n-1）=2n+1-

3n

2

-

3

2

点评：本题主要考查了程序框图知识，以及等差数列、等比数列的通项与求和，同时考查转化、计算、分析解决问题的能力，属于中档题．