Question

已知f（x）=x²-px+q，其中p＞0，q＞0．
（1）当p＞q时，证明

f(q)

p

＜

f(p)

q

；
（2）若f（x）=0在区间，（0，1]，（1，2]内各有一个根，求p+q的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）当p＞q时，分别化简

f(q)

p

、

f(p)

q

，再把它们作差判断符号，即可证得结论．
（2）由题意可得

f(0)＞0 f(1)≤0 f(2)≥0

，求得

p-q≥1 2p-q≤4

，画出点（p，q）（p＞0，q＞0）组成的可行域，由线性规划知识求得p+q的范围．

解答： 证明：（1）

f(q)

p

=

q2-pq+q

p

=

q2+q

p

-q，

f(p)

q

=

p2-p2+q

q

=1，
∴

f(q)

p

-

f(p)

q

=

q2+q

p

-q-1=

(q+1)(q-p)

p

，
∵p＞q＞0，
∴

(q+1)(q-p)

p

＜0，
即

f(q)

p

-

f(p)

q

＜0，
∴

f(q)

p

＜

f(p)

q

；        （4分）
解：（2）∵抛物线的图象开口向上，且f（x）=0在区间（0，1]，（1，2]内各有一个根，
∴

f(0)＞0 f(1)≤0 f(2)≥0

⇒

q＞0 1-p+q≤0 4-2p+q≥0

⇒

p-q≥1 2p-q≤4.

∴点（p，q）（p＞0，q＞0）组成的可行域如图所示，

设z=p+q，由线性规划知识可知，1＜z=p+q≤5，即p+q∈（1，5]．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等产数列的定义和性质，体现了数形结合、分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．