Question

已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．

（1）求实数m的值，并写出区间D；

（2）若底数a＞1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；

（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．

Answer 1

考点：

对数函数的单调性与特殊点；对数函数的值域与最值．

专题：

综合题；转化思想．

分析：

（1）由奇函数的性质，可得f（x）+f（﹣x）=0，代入函数的解析式，转化为方程f（x）+f（﹣x）=0在区间D上恒成立，进而求解；

（2）令，先求出该函数在定义域D内的单调性，然后利用复合函数的单调性，求出f（x）的单调性．

（3）首先由A⊆D，求出a、b的范围，进而结合（2）中的结论，确定函数f（x）的单调性，然后利用函数的单调性确定函数的最值，结合已知，解方程求出a，排除b＜1的情况，最终确定b的值．

解答：

解（1）∵y=f（x）是奇函数，

∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．（2分）

化简此式，得（m²﹣1）x²﹣（2m﹣1）²+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），

必有，解得m=1．（4分）

∴．（5分）

（2）当a＞1时，函数上是单调减函数．

理由：令．

易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小，（6分）

故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小．（8分）

于是，当a＞1时，函数上是单调减函数．（10分）

（3）∵A=[a，b）⊆D，

∴0＜a＜1，a＜b≤1．（11分）

∴依据（2）的道理，当0＜a＜1时，函数上是增函数，（12分）

即，解得．（14分）

若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1）

∴必有b=1．（16分）

因此，所求实数a、b的值是．

点评：

本题主要考查对数函数的单调性和奇偶性、求函数值域、恒成立等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，分析问题的能力、运算的能力、问题转换的能力以及分类讨论的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思．