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    对于数列{An}：A1，A2，A3，…，An，若不改变A1，仅改变A2，A3，…，An中部分项的符号，得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{an}为数列{
    1
    2n
    }(n∈N*)    的生成数列，Sn为数列{an}的前n项和．
    （1）写出S3的所有可能值；
    （2）若生成数列{an}满足：S3n=
    1
    7
    (1-
    1
    8n
    )    ，求{an}的通项公式；
    （3）证明：对于给定的n∈N*，Sn的所有可能值组成的集合为：{x|x=
    2m-1
    2n
    ，m∈N*，m≤2n-1}    ．
    分析：（1）根据生成数列的定义，可知当n=3时，a1=
    1
    2
    ，a2、a3分别在±
    1
    4
    、±
    1
    8
    中取值．由此给出{an}的所有可能的情况，即可算出S3的所有可能值；
    （2）根据{an}的前3n项和与通项的关系式，可得当n=1时S3=
    1
    8
    ，当n≥2时a3n-2+a3n-1+a3n=S3n-S3n-3=
    1
    8n
    ．由a3n-2、a3n-1、a3n的8种组合加以推断，可得：当且仅当a3n-2=
    4
    8n
    、a3n-1=-
    2
    8n
    且a3n=-
    1
    8n
    时，以上相等关系可以成立．由此即可得到满足条件的{an}的通项公式；
    （3）利用数学归纳法证明：①当n=1时命题成立；②假设n=k（k∈N*）时，Sk=
    2m-1
    2k
    (m∈N*，m≤2k-1)    ，则当n=k+1时，Sk+1=Sk±
    1
    2k+1
    =
    2k+1Sk±1
    2k+1
    =
    2(2m-1)±1
    2k+1
    （m∈N*，m≤2k-1），从而证出Sk+1=
    2m-1
    2k+1
    （m∈N*，m≤2k），即由n=k时命题成立可推出n=k+1时命题也成立．根据以上两点，可以推断出原命题成立．
    解答：解：（1）由题意，得a1=
    1
    2
    ，|an|=
    1
    2n
    (n∈N*，n≥2)    ，
    ∴根据生成数列的定义，可得a2=±
    1
    4
    ，a3=±
    1
    8
    ．
    又∵
    1
    2
    +
    1
    4
    +
    1
    8
    =
    7
    8
    ，
    1
    2
    +
    1
    4
    -
    1
    8
    =
    5
    8
    ，
    1
    2
    -
    1
    4
    +
    1
    8
    =
    3
    8
    ，
    1
    2
    -
    1
    4
    -
    1
    8
    =
    1
    8
    ，
    ∴为
    1
    8
    ，
    3
    8
    ，
    5
    8
    ，
    7
    8
    ．
    （2）∵S3n=
    1
    7
    (1-
    1
    8n
    )    ，
    当n=1时，a1+a2+a3=S3=
    1
    7
    (1-
    1
    8
    )=
    1
    8
    ，
    当n≥2时，a3n-2+a3n-1+a3n=S3n-S3n-3=
    1
    7
    (1-
    1
    8n
    )-
    1
    7
    (1-
    1
    8n-1
    )=
    1
    8n

    ∵{an}是{
    1
    2n
    }(n∈N*)    的生成数列
    ∴a3n-2=±
    1
    23n-2
    ，a3n-1=±
    1
    23n-1
    ，a3n=±
    1
    23n
    ；
    可得a3n-2+a3n-1+a3n=±
    1
    23n-2
    ±
    1
    23n-1
    ±
    1
    23n
    =
    1
    8n
    (±4±2±1)=
    1
    8n
    (n∈N*)    ，
    在以上各种组合中，当且仅当a3n-2=
    4
    8n
    ，a3n-1=-
    2
    8n
    ，a3n=-
    1
    8n
    (n∈N*)    时，相等关系成立．
    ∴an=
    1
    2n
    ，n=3k-2
    -
    1
    2n
    ，n≠3k-2
    ，k∈N*    ．
    （3）利用数学归纳法证明：
    ①n=1时，S1=
    1
    2
    ，命题成立．
    ②假设n=k（k∈N*）时命题成立，即Sk所有可能值集合为：{x|x=
    2m-1
    2k
    ，m∈N*，m≤2k-1}
    由假设得Sk=
    2m-1
    2k
    (m∈N*，m≤2k-1)    …（13分）
    则当n=k+1时，Sk+1=
    1
    2
    ±
    1
    22
    ±
    1
    23
    ±…±
    1
    2k
    ±
    1
    2k+1
    =Sk±
    1
    2k+1
    =
    2k+1Sk±1
    2k+1
    Sk+1=
    2k+1Sk±1
    2k+1
    =
    2(2m-1)±1
    2k+1
    （m∈N*，m≤2k-1）…（15分）
    即Sk+1=
    2×(2m-1)-1
    2k+1
    或Sk+1=
    2×(2m)-1
    2k+1
    （m∈N*，m≤2k-1）
    即Sk+1=
    2m-1
    2k+1
    （m∈N*，m≤2k）∴n=k+1时，命题成立       …（17分）
    由①②，n∈N*，Sn所有可能值集合为{x|x=
    2m-1
    2n
    ，m∈N*，m≤2n-1}    ．
    点评：本题给出数列{An}的生成数列{an}的定义，求S3的可能值并证明Sn的所有可能值组成的集合．着重考查了数列的通项与求和公式、等比数列的通项公式与前n项和公式、利用数学归纳法证明与正整数n有关的命题等知识，属于难题．同时考查了学生的计算能力、逻辑推理能力与分析问题、解决问题的能力，考查了转化化归与分类讨论的数学思想的运用，是一道综合性较强的试题．
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    B1-A
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